\(p,\ q,\ r,\ \dots\)
Una proposizione è una parte del discorso a cui si può assegnare un valore di verità o di falsità \((V, F)\).
\(p:\) Giorgio è più alto di 1,80m.
\(\rightarrow V\)
\(q:\) Roma è la capitale della
Francia. \(\rightarrow F\)
I connettivi logici servono a costruire nuove proposizioni dalle proposizioni di partenza.
\(\neg p\)
“non p”
| \(p\) | \(\neg p\) |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
\(p \wedge q\)
“p e q”
| \(p\) | \(q\) | \(p \wedge q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
\(p \vee q\)
“p oppure q”
| \(p\) | \(q\) | \(p \vee q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
La disgiunzione non esclusiva \((XOR)\) si indica con \(\veebar\) e la sua tabella di verità è: | \(p\) | \(q\) | \(p \veebar q\) | | — | — | :————-: | | V | V | F | | V | F | V | | F | V | V | | F | F | F |
\(vel \rightarrow\) disgiunzione
inclusiva
\(aut \rightarrow\) disgiunzione
esclusiva
\(p \Rightarrow q\)
“p implica q” oppure “se p allora
q”
| \(p\) | \(q\) | \(p \Rightarrow q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
\(p :\) piove.
\(q :\) prendo l’ombrello.
\(p \Rightarrow q :\) se piove allora
prendo l’ombrello.
Voglio negarlo, quindi
\(\neg(p \Rightarrow q) :\) non è vero che se piove allora prendo l’ombrello.
Equivale a dire: “piove e non prendo l’ombrello.”
Quindi
\(\neg(p \Rightarrow q) = p \wedge \neg q\)
Poiché, se è vero che
\(\neg (\neg p) = p\)
allora
\(\neg \Big(\neg(p \Rightarrow q)\Big) = \neg (p \wedge \neg q) =\)
per De Morgan (vedi più avanti)
\(=\neg p \vee \neg (\neg q) = \neg p \vee q\)
trovando infine che
\(\neg (\neg p \vee q) = p \wedge \neg q\)
\(p \Leftrightarrow q\)
“p è equivalente a q” oppure “p se e solo se
q”
| \(p\) | \(q\) | \(p \Leftrightarrow q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Inoltre
\(p \Leftrightarrow q = (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\)
| \(p\) | \(q\) | \(p \Rightarrow q\) | \(q \Rightarrow p\) | \((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | F |
| F | F | V | V | V |
\(p : \text{in un triangolo, 2 lati sono
uguali.}\)
\(q : \text{in un triangolo, 2 angoli sono
uguali.}\)
\(p \Leftrightarrow q\)
Una tautologia è una proposizione (composta) che è sempre vera.
\(p \vee \neg p\)
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p \vee \neg p\) |
|---|---|---|
| V | F | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | V | V |
\(\neg(p \wedge \neg p)\)
| \(p\) | \(\neg p\) | \(p \wedge \neg p\) | \(\neg(p \wedge \neg p)\) |
|---|---|---|---|
| V | F | F | V |
| V | F | F | V |
| F | V | F | V |
| F | V | F | V |
\((p \wedge (p \Rightarrow q)) \Rightarrow p\)
| \(p\) | \(q\) | \(p \Rightarrow q\) | \(p \wedge (p \Rightarrow q)\) | \((p \wedge (p \Rightarrow q)) \Rightarrow p\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | V |
\((\neg q \wedge (p \Rightarrow q)) \Rightarrow \neg p\)
| \(p\) | \(q\) | \(\neg p\) | \(\neg q\) | \(p \Rightarrow q\) | \(\neg q \wedge (p \Rightarrow q)\) | \((\neg q \wedge (p \Rightarrow q)) \Rightarrow \neg p\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | F | F | V | F | V |
| V | F | F | V | F | F | V |
| F | V | V | F | V | F | V |
| F | F | V | V | V | V | V |
\(\Big((p \wedge \neg q) \Rightarrow (r \wedge \neg r)\Big) \Leftrightarrow (p \Rightarrow q)\)
| \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(\neg q\) | \(\neg r\) | \(p \wedge \neg q\) | \(r \wedge \neg r\) | \(\Big((p \wedge \neg q) \Rightarrow (r \wedge \neg r)\Big)\) | \(p \Rightarrow q\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F | V | V |
| V | V | F | F | V | F | F | V | V |
| V | F | V | V | F | V | F | F | F |
| V | F | F | V | V | V | F | F | F |
| F | V | V | F | F | F | F | V | V |
| F | V | F | F | V | F | F | V | V |
| F | F | V | V | F | F | F | V | V |
| F | F | F | V | V | F | F | V | V |
\(\neg (p \wedge q) = \neg p \vee \neg
q\)
\(\neg (p \vee q) = \neg p \wedge \neg
q\)
| \(p\) | \(q\) | \(p \wedge q\) | \(\neg (p \wedge q)\) | \(\neg p\) | \(\neg q\) | \(\neg p \vee \neg q\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
“parte del nostro discorso che contende una o più variabili”
\(\mathcal{P}(x) : \text{lo studente x è
più alto di 1,7m.}\)
è un predicato
\(\mathcal{P}(Pietro) = \text{Pietro è più
alto di 1,7m.}\)
è una proposizione
\(\mathcal{Q}(x,y) : \text{lo studente x è
amico dello studente y.}\)
è un predicato
\(\mathcal{Q}(Pietro,Giorgio) : \text{lo
studente Pietro è amico dello studente Giorgio.}\)
è una proposizione
\(\mathcal{S}(x,y,z) : \text{nell'ospedale x, il medico y, ha sbagliato la diagnosi z.}\)
Osservazione: un modo per trasformare predicati in proposizioni è utilizzare i quantificatori.
\(\forall\)
“per ogni”
Quantificatore Universale
\(\exists\) “esiste” Quantificatore Esistenziale
\(\forall x, \mathcal{P}(x)\) è una
proposizione
significa “ogni studente è più alto di 1,7m.”
\(\exists x, \mathcal{P}(x)\) è una
proposizione
significa “esiste uno studente più alto di 1,7m.”
\(\Big(\forall x, \mathcal{Q}(x,y)\Big) =
\mathcal{R}(y)\)
significa “tutti gli studenti sono amici dello studente y.”
Idea: la variabile \(x\) non è più presente.
\(\exists y : \Big(\forall x,
\mathcal{Q}(x,y)\Big)\)
significa “esiste uno studente amico di tutti gli studenti.”
\(\forall x, \exists y :
\mathcal{Q}(x,y)\)
significa “ogni studente ha almeno un amico.”
Voglio tradurre formalmente la frase “in ogni ospedale, esiste almeno un medico che ha sbagliato tutte le diagnosi.”
Quindi scrivo
\(\forall x, \exists y : \forall z, \mathcal{S}(x,y,z)\)
Osservazione: come posso fare la negazione di una frase con i quantificatori.
Importante
Per negare una proposizione con i quantificatori, occorre sostituire il
quantificatore esistenziale con il quantificatore
universale e viceversa, quindi la negazione si distribuisce
all’interno, quindi:
Per esempio, prendiamo
\(\forall x, \mathcal{P}(x)\)
“ogni studente è più alto di 1,7m.”
dobbiamo negarla, perciò “non è vero che …”
ATTENZIONE!
NON è vero che
\(\neg \Big(\forall x, \mathcal{P}(x)\Big)
\neq \forall x, \neg \mathcal{P}(x)\)
poiché sarebbe “ogni studente non è più alto di 1,7m.”
\(\neg \Big(\forall x, \mathcal{P}(x)\Big)
= \exists x : \neg \mathcal{P}(x)\)
“esiste almeno uno studente che non è più alto di 1,7m.”
Similmente
\(\neg \Big(\exists y : \mathcal{T}(y)\Big) = \forall y, \neg \mathcal{T}(y)\)
Riprendiamo \(\mathcal{Q}(x,y)\) e neghiamolo
\(\neg \Big(\exists x : \forall x,
\mathcal{Q}(x,y)\Big)\)
“non è vero che esiste uno studente che è amico di tutti gli
studenti.”
\(\neg \Big(\exists x :
\mathcal{Q}(x,y)\Big) = \forall y, \neg \Big(\forall x,
\mathcal{Q}(x,y)\Big) = \forall y, \exists x :\neg
\mathcal{Q}\)
“ogni studente non è amico di almeno uno studente.”
Similmente
\(\neg \Big(\forall x, \exists y : \forall
z, \mathcal{S}(x,y,z)\Big)\)
“non è vero che in ogni ospedale, esiste almeno un medico che
ha sbagliato tutte le diagnosi”
\(= \exists x : \forall y, \exists z : \neg
\mathcal{S}(x,y,z)\)
“esiste un ospedale in cui ogni medico ha determinato almeno una
diagnosi.”
\(\lim\limits_{x \to x_o} f(x) =
l\)
\(x_0, l \in \mathbb{R}\)
\(\forall \varepsilon > 0, \exists
\delta > 0 : \forall x \in \mathbb{E},\)
\(0 < |x-x_0| < \delta \Rightarrow
|f(x)-l| < \varepsilon\)
Modificando correttamente i quantificatori, la sua negazione è
\(\exists \varepsilon > 0 : \forall
\delta > 0, \exists x \in \mathbb{E} :\)
\(\neg (0 < |x-x_0| < \delta \Rightarrow
|f(x)-l| < \varepsilon)\)
Poiché prima abbiamo visto che
\(\neg(p \Rightarrow q) = p \wedge \neg q\)
allora la negazione diventa
\(\exists \varepsilon > 0 : \forall
\delta > 0, \exists x \in \mathbb{E} :\)
\(0 < |x-x_0| < \delta \wedge |f(x)-l|
\geq \varepsilon\)
Insieme (nozione primitiva) : aggregazione, famiglia, groppo (di solito con qualche caratteristica comune) di elementi.
Attenzione
Gli insiemi sono caratterizzati dai soli elementi.
Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi.
L’ordine non conta: \(A = \{a,b,c\} = \{c,a,b\}\)
Per esempio, l’elemento \(a\) appartiene all’insieme \(A\) diventa \(a \in A\):
Si possono rappresentare con i diagrammi di Eulero-Venn.
Osservazione: Per rappresentare un insieme:
\(A =\{n \in \mathbb{N} : n\ pari \} = \{0,2,4,6 \dots\}\)
\(U\) è l’insieme universo
\(A\) è l’insieme
\(\mathscr{C}_U A = \{x \in U : x \notin U\} = \{x \in U : \neg (x \in U)\}\)
L’insieme complemento si può scrivere anche \(\overline{A}\).
\(A \cap B = \{x \in U : x \in A \wedge x \in B\}\)
\(A \cup B = \{x \in U : x \in A \vee x \in B\}\)
\(A \cap B = B \cap A\)
\(A \cup B = B \cup A\)
\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap
C)\)
\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup
C)\)
\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A
\cap C)\)
\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup
C)\)
Esiste un insieme (speciale) che è senza elementi, chiamato insieme vuoto, indicato con \(\emptyset\) (unico e \(\forall A, \emptyset \subseteq A\)).
\(\mathcal{P}(A)\) è l’insieme dei sottoinsiemi di A
Sia
\(A = \{a,b,c\}\)
allora
\(\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}\}\)
Tutti i sottoinsiemi si dicono propri, tranne l’insieme \(\{a,b,c\}\), detto improprio.
\(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\)
con
\(|A| =\) numero di elementi in \(A\)
Per esempio, se prendiamo l’insieme \(A =
\{a,b,c,d,e,f\}\),
possiamo rappresentare il sottoinsieme \(S =
\{a,d,e\}\) così:
| a | b | c | d | e | f |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Dove inserisco \(1\) se l’elemento è presente o \(0\) se è assente.
Un altro esempio è
\(\emptyset = \{\}\) corrisponde a
\((0,0,0,0,0,0)\)
In questo modo, vediamo che tutte le possibilità sono rappresentabili da un numero binario di lunghezza \(|A|\), quindi \(2^n\) in decimale.
Una coppia ordinata è un aggregato con due elementi in cui si distingue il primo elemento e il secondo elemento.
\((a,b) \neq \{a,b\}\)
\(\{a,b\} = \{b,a\}\)
\((a,b) = (a',b') \Leftrightarrow a=a', b=b'\)
\((a,b) \neq (b,a)\)
a meno che \(a=b\)
Definizione:
Siano \(A,B\) insiemi,
\(A \times B = \{(a,b) : a \in A, b\in B
\}\)
è detto insieme prodotto cartesiano di \(A\) e \(B\).
Anche il piano cartesiano è un prodotto cartesiano
\(\Pi = \{(a,b) : a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\)
in questo caso \(A=B=\mathbb{R}\), quindi
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\)
Similmente
\(A \times B \times C = \{(a,b,c) : a \in A, b \in B, c \in C\}\)
\(\mathbb{R}^3 = \{(x,y,a) : x,y,z \in
\mathbb{R}\}\)
nello spazio a tre dimensioni
\(\mathbb{R}^n = \{(x_1,x_2,x_3, \dots,
x_n) : x_1,x_2,x_3, \dots, x_n \in \mathbb{R}\}\)
n-upla, tupla ordinata (vettore)
\(A =
\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}\)
\(B = \{b_1,b_2,b_3,b_4\}\)
\(A \times B = \{(a_i,b_j) : i = (1,2,3,4,5),\ j = (1,2,3,4)\}\)
Osservazione:
numeri divisibili per \(3 = \{n \in \mathbb{N}
: \exists k \in \mathbb{N} : (n = 3k)\} = \{n \in \mathbb{N} :
\mathcal{P}(n)\}\)
con \(\mathcal{P}(n) = \exists k \in
\mathbb{N} : (n = 3k)\)
la variabile \(k\), preceduta dal
quantificatore esistenziale, è muta.
I predicati binari sono quelli giusti per i prodotti cartesiani.
Indicando in \(A \times B\) l’insieme delle coppie che soddisfano \(\mathcal{P}(x,y) \rightarrow\) predicato binario
\(A = \{\)ragazzi in quest’aula\(\}\)
\(B = \{\)ragazze in quest’aula\(\}\)
\(\mathcal{P}(x) :\) \(x\) è amico di \(y\)
Relazione di “amicizia” tra due insiemi
Definizione:
Relazione tra \(A\) e \(B =\) predicato \(\mathcal{P}(x)\) a valori in \(A \times B\).
(se \(A=B\), parliamo di relazione su
\(A\))
\(A = \mathbb{N} \setminus \{0\} = \{1,2,3, \dots\}\)
Decidiamo che \(n | m\) significa “n divide m”, introducendo la relazione “\(|\) divide”.
Per esempio, 3 divide 12, ma 3 non divide 5, poiché \(\nexists k \in \mathbb{Z} : 3k=5\).
\(A = \mathbb{Z} =
\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}\)
\(m = 3\) (è il modulo in base 3)
\(x\) è in relazione con \(y\)
se \(\exists k \in \mathbb{Z} :
x-y=3k\)
cioè 2 numeri sono in relazione se la loro differenza è un multiplo di 3.
Si chiama congruenza modulo 3, indicata con \(m \equiv_3 n\).
Definizione:
Sia \(A\) un insieme, sia \(\rho\) una relazione su \(A\),
allora \(x \rho y\)
La relazione divide è transitiva:
\(x|y \wedge y|z \xRightarrow{?} x|z\)
\(x|y \Leftrightarrow \exists k_1 : y = k_1
\cdot x\)
\(y|z \Leftrightarrow \exists k_2 : z = k_2
\cdot y = k_2 \cdot (k_1 \cdot x) =\)
\(x|z\) quindi è vero perché, se \(k_3 = k_1 \cdot k_2\) allora \(z = k_3 \cdot x\).
\(\square\)
La relazione congruenza modulo m è transitiva:
\(x,y,z \in \mathbb{Z}\)
\(x \equiv_m y \wedge y \equiv_m z \xRightarrow{?} x \equiv_m z\)
\(\exists k_1 \in \mathbb{Z} : x-y= k_1
\cdot m\)
\(\exists k_2 \in \mathbb{Z} : y-z= k_2 \cdot
m\)
\(x \equiv_m z\) quindi è vero
perché, se \(k_3 = k_1 \cdot
k_2\),
allora \(x-z = k_1 \cdot m + k_2 \cdot m =
(k_1 + k_2)m = k_3 \cdot m\).
\(\square\)
Definizione:
\(A\) insieme, \(\rho\) relazione
\(\rho\) si dice antisimmetrica se
\(\forall x,y \in A, x \rho y \wedge y \rho x \Rightarrow x=y\)
La relazione divide è antisimmetrica se e solo se
\(\forall x,y \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, x | y \wedge y | x \Rightarrow x=y\)
Dimostriamolo partendo da
\(x|y \Leftrightarrow \exists k_1 : y = k_1
\cdot x\)
\(y|x \Leftrightarrow \exists k_2 : x = k_2
\cdot y \Leftrightarrow \exists k_2 : y = \frac{x}{k_2}\)
quindi
\(k_1 \cdot x = \frac{x}{k_2}\)
che equivale a
\(k_1 \cdot k_2 \cdot x - x = 0\)
quindi
\((k_1 \cdot k_2 - 1) \cdot x = 0\)
per la legge dell’annullamento del prodotto
o \(k_1 \cdot k_2 - 1 = 0\) o \(x = 0\)
ma poiché \(x \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
allora
\(k_1 \cdot k_2 = 1\)
poiché \(k_1, k_2 \in \mathbb{N}\), allora
\(k = k_1 = k_2 = 1\)
e se l’unica soluzione è \(k = +1\)
allora \(x=y\).
\(\square\)
Definizione:
\(A\) insieme, \(\rho\) relazione
se \(\rho\) è riflessiva,
antisimmetrica e transitiva
\(\rho\) si dice relazione
d’ordine o ordinamento.
Con \((A, \rho)\) insieme
ordinato.
Per esempio \(\mathbb{R}\) con la relazione \(\geq\).
Definizione:
\(A\) insieme, \(\rho\) relazione
se \(\rho\) è riflessiva, simmetrica e
transitiva
\(\rho\) si dice relazione di
equivalenza.
\(A\) insieme, \(\rho\) relazione di equivalenza
chiamo \([a]_\rho = \{b \in A : a \rho
b\}\)
cioè tutti gli elementi in relazione con \(a\).
\([0]_{\equiv_3} = \{ \dots, -9, -6, -3, +0, +3, +6, +9, \dots \}\)
\([1]_{\equiv_3} = \{\dots, -5, -2, +1, +3, +7, +10, +13, \dots\}\)
\([2]_{\equiv_3} = \{\dots, -7, -4, -1, +2, +5, +8, +11, \dots\}\)
Poi si ripetono
\([0]_{\equiv 3} =\)
\(= [3]_{\equiv 3} =\)
\(= [6]_{\equiv 3} = \dots\)
L’insieme delle classi di equivalenza di dice
insieme quoziente rispetto all’equivalenza.
Si indica con
\(^{A}/_{\rho}\)
per esempio
\(^{\mathbb{Z}}/_{\equiv_3} =\)
{ \([0]_{\equiv 3},\)
\([1]_{\equiv 3},\)
\([2]_{\equiv 3}\) }
Formattato male (verticalmente e senza pendici), perché GitHub non riesce a fare il rendering di due underscore. Prima o poi spero di risolvere.
Definizione:
Siano \(A, B\) insiemi
\(f\) una “legge”
che ad ogni valore di \(A\) associa uno
e un solo valore di \(B\), cioè se
\(x \in A\) esiste uno e uno solo \(y\) in \(B\) tale che \(y\) è associato a \(x\) (scrivo \(f(x) = y\)).
La terna \((A,B,f)\) la chiamo funzione.
Definizione:
\(A\) si dice dominio
della funzione.
\(B\) si dice
codominio della funzione.
\(f\) è una regola che ad ogni \(x\) del dominio associa uno e uno solo
elemento \(y\) del codominio.
\(A =\) {persone in
quest’aula}
\(B =\) {comuni italiani}
\(x \mapsto\) comune di residenza
!!! IMMAGINE comuni di residenza
Osservazione
Tutto l’anno studieremo funzioni
\(f = A \rightarrow B\) con \(A, B \subseteq \mathbb{R}\)
che tradizionalmente si dicono “funzioni reali di variabile reale”.
Osservazione
!!! IMMAGINE non è una funzione
Definizione
Sia \(f : A \rightarrow B\) una
funzione,
se \(x \in A\), il valore \(f(x) \in B\)
lo chiamo valore immaginario di x.
Definizione L’insieme delle immagini si chiama
insieme immagine o immagine
dell’insieme,
indicato da \(f(A)\).
Esempio con \(f(n) = 2n\)
Osservazione
Sempre \(f(A) \subseteq
B\)
Definizione
Sia \(f : A \rightarrow B\) una
funzione,
sia \(A' \subseteq A\),
\(f(A') = \{ f(x) : x \in A'
\}\)
!!! IMMAGINE insiemi A e A’
Esempio con l’immagine della funzione \(x^2 + 3\)
Definizione
Se \(f(A) = B\)
\(f\) si dice
suriettiva (o surgettiva).
Definizione
Sono
\(f : A \rightarrow B\)
\(g : B \rightarrow C\)
Diciamo funzione composta
\(g \circ f : A \rightarrow C\)
“g dopo f”,
quindi \(x \rightarrow
g\Big(f(x)\Big)\).
Esempio con \(x^2\) e \(y + 2\)
Definizione
Sia \(f : A \rightarrow B\),
supponiamo che esista una funzione
\(g : B \rightarrow A\) tale che:
\(g\) si dice funzione inversa di \(f\).
\(g = f^{-1}\)
!!! IMMAGINE funzione inversa con A e B
Identità:
\(A \rightarrow A\)
\(x \mapsto x\)
Teorema
Sia \(f : A \rightarrow B\),
\(f\) ha inversa se e solo se
\(f\) è iniettiva e
suriettiva, quindi biettiva.
\(\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots \}\)
Sono quelli che servono per contare (con lo zero).
Su \(\mathbb{N}\) è definita
un’operazione di somma o
addizione,
è una funzione
\(+ : \mathbb{N} \times \mathbb{N}
\rightarrow \mathbb{N}\)
\((n, m) \mapsto k = n + m\)
Questa è un’operazione:
Su \(\mathbb{N}\) è definita anche
un’operazione di prodotto o
moltiplicazione,
è una funzione
\(\cdot : \mathbb{N} \times \mathbb{N}
\rightarrow \mathbb{N}\)
\((n, m) \mapsto k = n \cdot m\)
Questa è un’operazione:
Vale una proprietà che lega la somma la prodotto, la distributiva,
\(\forall m,n,k\) vale che \(n \cdot (m + k) = (n \cdot m) + (n \cdot k)\)
Su \(\mathbb{N}\) è definita anche
una relazione d’ordine totale,
cioè che \(\forall x,y \in A,\ x \rho y \vee y
\rho x\)
\(\geq\) “maggiore o uguale”
che è compatibile con le operazioni:
\(\forall n,m,k \in
\mathbb{N},\)
\(n \geq m \Rightarrow n + k \geq m +
k\)
\(\forall n,m,k \in
\mathbb{N},\)
\(n \geq m \Rightarrow n \cdot k \geq m \cdot
k\)
Abbiamo un insieme con operazioni e relazioni
\((\mathbb{N}, +, \cdot, \geq)\)
esso è un insieme con una “struttura algebrica”.
Osservazione
Possiamo determinare degli assiomi (“prime proprietà
che non vengono dimostrate ma assunte a priori”) su \(\mathbb{N}\) in modo che tutte le altre
proprietà siano deducibili da questi?
Esiste un insieme che chiamo \(\mathbb{N}\)
Idea fondamentale
\(\sigma(0) = 1\)
\(\sigma(n) = n + 1\)
se parto da \(0\) e sommo \(1\), trovo tutti i numeri.
Osservazione
Il principio di induzione posso verificarlo anche per i numeri \(n>n_0, n_0 \in \mathbb{N}, n_0 \geq 0\),
verificando \(P(n_0)\) e poi \(\forall n \geq n_0, P(n) \Rightarrow
P(n+1)\).
Esempio \(0+1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)
Esempio \(0+1+4+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Esempio \(0+1+4+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Esempio con le rette nel piano
Sia \(a>-1, a \in \mathbb{R}\)
Allora \(\forall n \in \mathbb{N}\) vale
\((1+a)^n \geq 1 + na\)
Sia \(a>0, a \in \mathbb{R}\)
Allora \(\forall n \in \mathbb{N}, n \geq 1\) vale
\((1+a)^n \geq 1 + na + \frac{n(n-1)}{2}a^2\)
Definizione
Sia \(A\) un insieme,
sia \(f : \mathbb{N} \rightarrow
A\),
quindi saranno determinati
\(f(0) = a_0\)
\(f(1) = a_1\)
\(f(2) = a_2\)
\(\vdots\)
\(f(n) = a_n\)
questa \(f\) si chiama
(tradizionalmente)
successione a valori in \(A\)
la rappresento con \((a_n)_n\)
Osservazione
Ora usiamo l’induzione per introdurre in modo rigoroso il simbolo di
sommatoria.
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} a_i = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
Si ha che
\(s_0 = a_0\)
\(\forall n, s_{n+1} = s_n +
a_{n+1}\)
Analogamente
\(\displaystyle\prod_{i=1}^{n} a_i = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
Si ha che
\(p_0 = a_0\)
\(\forall n, p_{n+1} = p_n +
a_{n+1}\)
Per contare il numero di elementi di insiemi a partire da altri insiemi.
1- Se \(A\) insieme di \(n\) elementi e \(B\) insieme di \(m\) elementi, scriviamo
\(|A| = n,\ |B| = m\)
allora
\(|A \times B| = n \cdot m\)
2- \(|A| = n,\ |B| = m\), il numero delle funzioni da a \(A\) a \(B\)
\(B^A =\) {numero delle funzioni da a \(A\) a \(B\)}
\(|B^A| = |B|^{|A|} = m^n\)
sono disposizioni con ripetizione
3- \(|A| = n,\ |B| = m\) con \(m \geq n\),
\(D =\) {funzioni iniettive da \(A\) a $B}
\(|D| = m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)\)
sono disposizioni di m oggetti a n a n
Ho usato \(D\) invece di \(C\)
4- \(|A| = |B| = n\), funzioni biettive tra \(A\) e \(B\)
\(P =\) {biezioni da \(A\) in sé stesso}
\(|P| = n(n-1)(n-2)\dots(2)(1)(0!) = n!\)
sono permutazioni di n oggetti
5- Sia \(|A| = n\), \(0 \leq k \leq n\),
il numero dei sottoinsiemi di \(A\) con
\(k\) elementi
\(C_k^n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) {numero dei sottoinsiemi di \(A\) con \(k\) elementi}
sono combinazioni di n oggetti a k a k
Osservazione
\(D = C_k^n \cdot k!\)
sono le combinazioni di n oggetti a k a k ordinate, ognuna genera \(k!\) disposizioni.
\(\binom{0}{0}=1\)
\(\binom{n}{0}=1\)
\(\binom{n}{n}=1\)
\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)
Dimostrabile con gli insiemi o con la formula
Per \(1 \leq k \leq n-1\) \(\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}\)
Dimostrabile con gli insiemi o con la formula
\[ \begin{array}{cccccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ & 1 & & 5 & & 10& &10& & 5 & & 1 \\ \end{array} \]
\[ \begin{array}{cccccccccccccccc} & & & & & & \binom{0}{0} & & & & & \\ & & & & & \binom{1}{0} & & \binom{1}{1} & & & & \\ & & & & \binom{2}{0} & & \binom{2}{1} & & \binom{2}{2} & & & \\ & & & \binom{3}{0} & & \binom{3}{1} & & \binom{3}{2} & & \binom{3}{3} & & \\ & & \binom{4}{0} & & \binom{4}{1} & & \binom{4}{2} & & \binom{4}{3} & & \binom{4}{4} & \\ & \binom{5}{0} & & \binom{5}{1} & & \binom{5}{2} & & \binom{5}{3} & & \binom{5}{4} & & \binom{5}{5} \\ \end{array} \]
Siano \(a,b \in \mathbb{R}\) (o
\(\in \mathbb{C}\)),
sia \(n \in \mathbb{N},\ n \geq 1\)
allora \((a+b)^n = \displaystyle\sum_{j=o}^n \binom{n}{j} a^{n-j} b^j\)
Dimostrabile con l’induzione
Osservazione
\(\displaystyle\sum_{j=o}^n \binom{n}{j} =
2^n\)
che sono tutti i sottoinsiemi possibili
Dimostrabile con \((1 + 1)^n\)
Osservazione
\(\displaystyle\sum_{j=o}^n (-1)^j
\binom{n}{j} = 0\)
che sono tutti i sottoinsiemi possibili
Dimostrabile con \((1 - 1)^n\)
Osservazione
A partire dai numeri naturali \(\mathbb{N}\), è possibile costruire i
numeri interi
\(\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}\)
A partire dai numeri interi \(\mathbb{Z}\), è possibile costruire i numeri razionali
\(\mathbb{Q} = \{\frac{p}{q} con p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^+\}\)
In \(\mathbb{Q}\) ci sono delle classi di equivalenza, per esempio \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \dots\)
I numeri razionali non vanno bene per misurare la lunghezza dei segmenti (come la diagonale del quadrato con lato unitario).
Teorema
Non esistono \(k.m \in \mathbb{N}\)
tali che \((\frac{k}{m})^2 = 2\).
Dimostrazione
Supponiamo, per assurdo, che esistano.
Non è restrittivo supporre che \(k\) e
\(m\) non abbiano fattori in
comune,
allora
\(\frac{k^2}{m^2} = 2 \Leftrightarrow k^2 = 2m^2 \Leftrightarrow 2\) divide \(k^2\)
Se
\(k = p_1^{n_1} \cdot p_2^{n_2} \cdot p_3^{n_3} \cdot \dots p_l^{n_l}\)
allora
\(k^2 = p_1^{2n_1} \cdot p_2^{2n_2} \cdot p_3^{2n_3} \cdot \dots p_l^{2n_l}\)
allora \(2\) divide \(k\)
allora \(k = 2n\)
allora
\(\frac{4n^2}{m^2} = 2 \Leftrightarrow 4n^2 = 2m^2 \Leftrightarrow 2n^2 = m^2 \Leftrightarrow 2\) divide \(m^2\)
allora \(2\) divide \(m\)
quindi \(2\) divide \(k\) e \(2\) divide \(m\)
allora hanno un fattore in comune, quindi non sono primi fra loro, che è un assurdo.
Quindi in \(\mathbb{Q}\) non si può risolvere l’equazione \(x^2 = 2\)
Esiste un insieme \(\mathbb{R}\) tale che
\(A)\) Su \(\mathbb{R}\), è definita un’operazione di somma o addizione
\(+ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to
\mathbb{R}\)
\((x, y) \mapsto x + y\)
\(A_1)\) La somma è associativa
\(\forall x, y, z\) vale che \(x + (y + z) = (x + y) + z\)
\(A_2)\) Esiste l’elemento neutro
\(\exists 0 \in \mathbb{R} : 0 + x = x + 0 = x\)
\(A_3)\) Esiste l’opposto
\(\forall x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} : x + x' = x' + x = 0\)
\(A_4)\) La somma è commutativa
\(\forall x, y\) vale che \(x + y = y + x\)
\((\mathbb{R}, +)\) è un gruppo abeliano.
\(M)\) Su \(\mathbb{R}\), è definita un’operazione di prodotto o moltiplicazione
\(\cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to
\mathbb{R}\)
\((x, y) \mapsto x \cdot y\)
\(M_1)\) La moltiplicazione è associativa
\(\forall x, y, z\) vale che \(x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z\)
\(M_2)\) Esiste l’elemento neutro
\(\exists 1 \in \mathbb{R} : 1 \cdot x = x \cdot 1 = x\)
\(M_3)\) Esiste l’opposto
\(\forall x \in \mathbb{R}, \exists x' \in \mathbb{R} : x \cdot x' = x' \cdot x = 1\)
\(M_4)\) La moltiplicazione è commutativa
\(\forall x, y\) vale che \(x \cdot y = y \cdot x\)
\(D)\) Esiste la proprietà distributiva che unisce la somma e la moltiplicazione
\(\forall x, y, z\) vale che \(x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)\)
\((\mathbb{R}, +, \cdot)\) è un campo.
\(O)\) Su \(\mathbb{R}\), è definito un ordinamento totale che chiamo \(\geq\) “maggiore o uguale”
\(O_1)\) \(\forall x, y, z \in \mathbb{R}\) vale che \(x \geq y \Rightarrow x + z \geq y + z\)
\(O_2)\) \(\forall x, y, z \in \mathbb{R}\) vale che \(x \geq y \wedge z \geq 0 \Rightarrow x \cdot z \geq y \cdot z\)
\(S)\) Siamo \(A\) e \(B\) sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\) con \(A \neq \emptyset\) e \(B \neq \emptyset\).
Supponiamo che \(\forall a \in A, \forall b \in B, a \leq b\)
allora
\(\exists \xi \in \mathbb{R} : \forall a \in A, \forall b \in B\)
\(a \leq \xi \leq b\)
Dagli assiomi posso derivare le normali proprietà:
\(\forall x \in \mathbb{R}, x \cdot 0 = 0 \wedge \forall x,y \in \mathbb{R}, x \cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 \vee y = 0\)
\((-a) \cdot (-b) = ab\)
\((-a) \cdot b = - ab\)
\(1 > 0\) e \(\forall a \in \mathbb{R}, a^2 \geq 0\)
Siano \(a, b \in \mathbb{R}\) con \(a < b\),
sono intervalli limitati:
\([a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x
\leq b\}\)
\(]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : x < a \leq
b\}\)
\([a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x <
b\}\)
\(]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x <
b\}\)
Sia \(a \in \mathbb{R}\),
sono intervalli illimitati:
\(]-\infty, a] = \{x \in \mathbb{R} : x
\leq a\}\)
\(]-\infty, a[ = \{x \in \mathbb{R} : a <
x\}\)
\([a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} : a \geq
x\}\)
\(]a, +\infty[ = \{x \in \mathbb{R} : a >
x\}\)
Sono illimitati inferiormente e limitati superiormente.
Osservazione
\(\mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[\)
Osservazione
Può essere comodo pensare che anche \(\{a\}\) (cioè un insieme di un solo punto)
è un intervallo “degenere”.
Osservazione
\(-\infty\) e \(+\infty\) non sono numeri reali, ma
soltanto simboli.
Scriviamo \(\tilde{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\), chiamata “retta estesa”.
Sia \(a \in \mathbb{R}\),
\(A\) si dice (insieme) limitato
superiormente se
\(\exists M \in \mathbb{R} : \forall a \in A, a \leq M\)
Definizione
\(A \subset \mathbb{R}\) si dice
limitato se è limitato superiormente ed inferiormente.
Osservazione
\(A\) è limitato \(\Leftrightarrow \exists R > 0 : A \subset [-R,
+R]\)
Osservazione
Sul piano definisco un insieme limitato se riesco a
metterlo in una circonferenza di raggio \(R\).
Osservazione
¿ Cosa significa che \(A\) non sia
superiormente limitato?
(senza usare la negazione)
\(\neg (\exists M \in \mathbb{R} : \forall a \in A, a \leq M)\)
\(\forall M \in \mathbb{R} : \exists a \in A : a > M\)
Definizione
Sia \(A \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(M \in \mathbb{R}\),
se \(\forall a \in A, a \leq M\) allora
\(M\) si dice
maggiorante di \(A\).
Osservazione
Se \(A\) ha un maggiorante, allora ne
ha infiniti.
Definizione
Sia \(A \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(m \in \mathbb{R}\),
se \(\forall a \in A, a \geq m\) allora
\(m\) si dice
minorante di \(A\).
Osservazione
Se \(A\) ha un minorante, allora ne ha
infiniti.
Definizione
Sia \(A \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(\mu \in \mathbb{R}\),
se \(\mu\) maggiorante di \(A\) e \(\mu \in
A\) allora \(\mu\) si dice
massimo di \(A\).
\[ \left\{ \begin{array}{l} \mu \in A \\ \forall a \in A, a \leq \mu \end{array} \right. \]
Definizione
Sia \(A \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(\nu \in \mathbb{R}\),
se \(\nu\) minorante di \(A\) e \(\nu \in
A\) allora \(\nu\) si dice
minimo di \(A\).
\[ \left\{ \begin{array}{l} \nu \in A \\ \forall a \in A, a \geq \nu \end{array} \right. \]
Definizione
Sia \(A\) superiormente limitato,
chiamo estremo superiore di \(A\) il minimo dei maggioranti di \(A\).
Definizione
Sia \(A\) inferiormente limitato,
chiamo estremo inferiore di \(A\) il massimo dei minoranti di \(A\).
Osservazione
Sia \(A\) un insieme, supponiamo che
\(\mu_1\) e \(\mu_2\) siano due massimi,
sia ha \(\mu_1 = \mu_2\), cioè il
massimo, se esiste, è unico.
infatti
\(\mu_1\) è massimo \(\Rightarrow \mu_1\) è maggiorante
\(\mu_2\) è massimo \(\Rightarrow \mu_2 \in A\)
\(\Rightarrow \mu_2 \leq \mu_1\)
e viceversa
\(\mu_1\) è massimo \(\Rightarrow \mu_1 \in A\)
\(\mu_2\) è massimo \(\Rightarrow \mu_2\) è minorante
\(\Rightarrow \mu_1 \leq \mu_2\)
perciò \(\mu_1 = \mu_2\), quindi il massimo è unico.
sia \(A \subseteq \mathbb{R}, A \neq
\emptyset\) e \(A\)
superiormente limitato,
allora \(\exists \xi \in \mathbb{R} :
\xi\) estremo superiore di \(A\).
Dimostrazione
\(A \subseteq \mathbb{R}\) e \(A \neq \emptyset\) (per ipotesi)
sia \(A^* =\) \(\{\text{maggioranti di } A\}\),
allora \(A^* \neq \emptyset\) (perché
\(A\) è superiormente limitato)
e \(\forall a \in A, \forall b \in A^*, a \leq
b\) (per definizione di maggiorante)
Alla coppia \(A, A^*\) posso
applicare \(S)\)
quindi \(\exists \xi \in \mathbb{R} : \forall
a \in A, \forall b \in A^*, a \leq \xi \leq b\)
in particolare \(\forall a \in A, a \leq \xi \Rightarrow \xi\) è maggiorante
quindi \(\forall b \in A^*, \xi \leq b\) e \(\xi \in A^* \Rightarrow \xi\) è il minimo dei maggioranti
\(\square\)
Per esercizio
Se \(A \subseteq \mathbb{R}, A \neq
\emptyset\) e \(A\)
inferiormente limitato,
allora \(\exists \eta \in \mathbb{R} :
\eta\) estremo inferiore di \(A\).
Sia \(A_* =\) \(\{\text{minoranti di } A\}\),
allora \(A_* \neq \emptyset\) (per più
\(A\) è inferiormente limitato)
e \(\forall a \in A, \forall b \in A_*, a \geq
b\) (per definizione di minorante)
Alla coppia \(A, A_*\) posso
applicare \(S)\)
quindi \(\exists \eta \in \mathbb{R} : \forall
b \in A_*, \forall a \in A, b \leq \eta \leq a\)
in particolare \(\forall a \in A, a \geq \eta \Rightarrow \eta\) è minorante
quindi \(\forall b \in A_*, \eta \geq b\) e \(\eta \in A_* \Rightarrow \eta\) è il massimo dei minoranti.
\(\square\) ???
Sia \(A \subseteq \mathbb{R}, A \neq
\emptyset\)
sia \(\alpha \in \mathbb{R}\)
\[ \alpha = supA \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1) & \forall a \in A, a \leq \alpha \\ 2) & \forall \varepsilon > 0, \exists \overline{a} \in A : \overline{a} > \alpha - \varepsilon \end{array} \right. \]
Dimostrazione
Sia \(\alpha = supA\), cioè \(\alpha\) è il minimo dei maggioranti,
ma allora \(\alpha\) è un maggiorante,
allora vale (1),
allora \(\forall \varepsilon > 0, \alpha -
\varepsilon\) non è un maggiorante.
\(\square\)
Osservazione
Se un insieme ha minimo (o massimo), il minimo è l’estremo inferiore (o
il massimo è l’estremo superiore).
\(1)\) \(\mathbb{N}\) è superiormente limitato
Dimostrazione
Per assurdo supponiamo che
\(\exists M \in \mathbb{R} : \forall n, n \leq
M\)
allora \(\mathbb{N}\) è non vuoto e
\(\mathbb{N}\) è superiormente
limitato
\(\Rightarrow \exists \xi \in \mathbb{R} : \xi
= sup \mathbb{N}\)
Applico la seconda proprietà del \(sup\) con \(\varepsilon = 1\)
Allora \(\exists \overline{n} \in \mathbb{R} : \overline{n} > \xi - 1\)
ma allora \(\overline{n} + 1 > \xi = sup \mathbb{N}\)
che è impossibile
\(\square\)
\(2)\) Proprietà di Archimede
Siano \(\varepsilon, M \in \mathbb{R},
\varepsilon > 0, M > 0\)
allora \(\exists \overline{n} \in \mathbb{R} :
\overline{n} \cdot \varepsilon > M\)
Dimostrazione
Per assurdo \(\forall n \in \mathbb{N},
\varepsilon \leq M\)
allora \(E = \{n \cdot \varepsilon : n \in
\mathbb{N}\}\) è superiormente limitato (e non vuoto)
sia \(\xi \in \mathbb{R}, \xi = sup E\)
Applico la seconda proprietà del \(sup\) con \(\varepsilon\) delle ipotesi
\(\exists \overline{n} \in \mathbb{N} :
\overline{n} \cdot \varepsilon > \xi - \varepsilon\)
ma allora \((\overline{n} + 1) \cdot \varepsilon > \xi = sup E\)
che è impossibile
\(\square\)
\(3)\) \(\frac{1}{n}\) diventa “piccolo quanto si vuole”
Sia \(\varepsilon > 0\) allora \(\exists \overline{n} \in \mathbb{N} : 0 < \frac{1}{n} < \varepsilon\)
Dimostrazione
Considero la proprietà di Archimede con \(\varepsilon\) delle ipotesi e \(M = 1\)
per Archimede
\(\exists \overline{n} \in \mathbb{N} :
\varepsilon \overline{n} > M = 1\)
cioè \(\varepsilon \overline{n} >
1\)
ma allora \(0 < \frac{1}{n} <
\varepsilon\)
\(\square\)
\(4)\) “Densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\)”
Teorema
\(\mathbb{Q}\) è denso in \(\mathbb{R}\), cioè
siano \(a, b \in \mathbb{R}\) con
\(a < b\)
allora \(\exists q \in \mathbb{Q} : a < q
< b\)
con \(q = \frac{k}{n}, n \neq 0\)
Dimostrazione
Se \(a < 0 < b\) allora \(q = 0\).
Se \(a < b < 0\) allora posso cambiare il segno, quindi \(-\frac{k}{n}\) va bene.
Quindi l’unico caso da considerare è \(0 \leq a < b\).
Chiamo \(\varepsilon = b - a\)
\(\exists n \in \mathbb{N} : 0 < \frac{1}{n} < b - a\)
ora sommo \(\frac{1}{n}\) “tante volte”
\(\exists k : \frac{k - 1}{n} \leq a \leq \frac{k}{n}\)
Sono sicuro che \(a < \frac{k}{n} < b\)?
Sì, perché \(\frac{1}{n} < b - a\)
\(5)\) Intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati
Definizione
Sia \((I_n)_n\) una successione di
intervalli
\((I_n)_n = I_0, I_1, \ldots, I_n\)
\(I_i = [a_i, b_i]\)
Definizione
Gli intervalli si dicono inscatolati
se \(\forall n, I_{n+1} \subset
I_n\)
Definizione
La successione \((I_n)_n\) si dice di
intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati se
\(\forall n, I_{n+1} \subset I_n\)
\(a_{n+1} = a_n, b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}\) oppure \(a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, b_{n+1} = b_n\)
Teorema di Cantor forma debole
Sia \((I_n)_n\) una successione di
intervalli chiusi, limitati e inscatolati
allora l’intersezione di tutti gli intervalli è non
vuota.
\(\bigcap\limits_n I_n \neq \emptyset\)
Teorema di Cantor forma forte
Sia \((I_n)_n\) una successione di
intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati
allora \(\bigcap\limits_n I_n \neq
\emptyset\) è un insieme con unico punto
\(\exists \xi \in \mathbb{R} : \bigcap\limits_n I_n = \{ \xi \}\)
Osservazione
Se gli intervalli non sono chiusi, il teorema non vale.
\(I_0 = ]0, 1]\)
\(I_1 = [0, \frac{1}{2}]\)
\(\vdots\)
\(I_n = [0, \frac{1}{n}]\)
\(\bigcap\limits_n\ ]0, \frac{1}{n}] = \emptyset\)
infatti se \(x \leq 0\) allora \(x \notin\ ]0, \frac{1}{n}], \forall n\)
se \(x > 0\) allora \(\exists \overline{n} : x >
\frac{1}{\overline{n} + 1} > 0\)
allora \(x \notin\ ]0, \frac{1}{n +
1}]\)
Osservazione
Se gli \(I_n\) sono chiusi e non
inscatolati, di nuovo il teorema non vale.
\(\bigcap\limits_n\ ]n, +\infty[\ = \emptyset\)
Dimostrazione della forma debole del teorema di
Cantor
\(A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}\)
estremi sinistri
\(B = \{b_n : n \in \mathbb{N}\}\)
estremi destri
ho che \(\forall n, \forall m, a_n \leq b_m\)
infatti se \(n \leq m\) allora \([a_n, b_n] \supseteq [a_m, b_m]\)
e quindi \(a_n \leq b_m\)
e se \(m \leq n\) allora \([a_n, b_n] \subseteq [a_m, b_m]\)
e quindi \(a_n \leq b_m\)
chiamo \(\alpha = sup A\) (c’è perché A è superiormente limitato)
ho che \(\forall n, a_n \leq b_m \Rightarrow \alpha \leq b_m\)
\(b_m\) è un maggiorante di \(A \Rightarrow b_m \geq\) minimo dei maggioranti \(= sup A = \alpha\)
ho scoperto che \(\forall m\), \(B\) è inferiormente limitato (\(\alpha\) è minorante)
allora \(\beta = inf B\) e ho che \(\beta \geq \alpha\) (\(\beta\) massimo dei minoranti)
ho che \([\alpha, \beta] \subseteq [a_n,
b_n], \forall n\)
allora \([\alpha, \beta] \supseteq
\bigcap\limits_n I_n \Rightarrow \bigcap\limits_n I_n \neq
\emptyset\)
\(\square\)
Osservazione
“Male che vada” \(\alpha = \beta\).
Per esercizio
Provare che \(\bigcap\limits_n I_n = [\alpha,
\beta]\) !!!
Dimostrazione della forma forte del teorema di
Cantor
Dalla forma debole ho che
\(\bigcap\limits_n I_n = [\alpha,
\beta]\)
con \(\alpha = sup A\) e \(\beta = inf B\)
so che \(b_n - a_n = \frac{b_{n-1} - a_{n-1}}{2} = \frac{b_{n-2} - a_{n-2}}{4} = \frac{b_{n-3} - a_{n-3}}{8} = \dots = \frac{b_0 - a_0}{2^n}\)
per induzione so che \(n \leq 2^n\)
allora \(\frac{b_{0} - a_{0}}{2^n} \leq \frac{b_0 - a_0}{n}\)
supponiamo che \(\alpha < \beta\) per assurdo;
allora \(\forall n, b_n - a_n \geq \beta - \alpha\)
ma \(\frac{b_n - a_n}{n} \geq b_n - a_n\)
ossia \(\forall n, \frac{b_n - a_n}{n} \geq \beta - \alpha > 0\)
è possibile? No, per Archimede.
Quindi \(\alpha = \beta\)
\(\square\)
\(|x + y| \leq |x| + |y|\)
Considero \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) (piano cartesiano o vettori)
\(\mathbb{R}^2 = \{(a,b) : a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\)
Operazione di addizione su \(\mathbb{R}^2\)
\((a, b) + (c, d) = (a+c,\ b+d)\)
Proprietà:
\((\mathbb{R}^2, +)\) è un gruppo abeliano
Operazione di moltiplicazione su \(\mathbb{R}^2\)
\((a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c - b \cdot
d, a \cdot d + b \cdot c)\)
Proprietà:
Esiste anche la proprietà distributiva
\((\mathbb{R}^2, +, \cdot)\) è un campo
lo chiamo campo dei numeri complessi \(\mathbb{C}\).
Osservazione
Dentro a \(\mathbb{C} = \{(a, b) \in
\mathbb{R}\ \text{con}\ +, \cdot\}\)
Considero i numeri \((a, 0)\)
\((a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0)\)
\((a, 0) \cdot (b, 0) = (a \cdot b,
0)\)
\((a, 0) \cdot (c, d) = (a \cdot c, a \cdot
d)\)
Come i reali, \(a\) è scalare.
Rappresentazione di complessi
Chiamo
\(\textbf{1} = (1, 0)\)
\(i = (0, 1)\)
\(\textbf{1} + i = (1, 1)\)
\(\textbf{1} \cdot \textbf{1} = (1, 0) =
1\)
\(i \cdot i = (-1, 0) = -1\)
\(x^2 = -1 \rightarrow x = (0, 1) = i\)
\((a, b) = (a, 1) \cdot (1, 0) + (b, 0) \cdot (1, 0) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib\)
\(a\) si dice parte reale
\(b\) si dice parte complessa (o
immaginaria)
Piano di Gauss
Il piano di Gauss è un piano cartesiano \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), dove
rappresento sulle ascisse le parti reali e sulle ordinate le parti
immaginarie.
Per esempio: \(z = a + bi\) ha coordinata reale \(a\) e immaginaria \(b\).
\(a = Re(z)\)
\(b = Im(z)\)
\(z = Re(z) + i \cdot Im(z)\)
\(Re(z), Im(z) \in \mathbb{R}\)
Definizione
Sia \(z = a + ib\), chiamo
complesso coniugato di \(z\),
il numero complesso \(a - ib\).
Chiamo coniugo la funzione
\(\overline{\square} : \mathbb{C}
\longrightarrow \mathbb{C}\)
\(z \longmapsto \overline{z}\)
\(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\)
\(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} +
\overline{z_2}\)
\(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1}
\cdot \overline{z_2}\)
Definizione
Sia \(z = a + ib\), chiamo
modulo di \(z\),
il numero reale \(|z| = \sqrt{a^2 +
b^2}\).
(è la distanza dall’origine)
\(| \square | : \mathbb{C} \longrightarrow
[0, +\infty[\)
\(z \longmapsto |z|\)
Osservazione
Se \(z \in \mathbb{R}\)
\(|z| = \sqrt{z^2}\)
Il modulo di \(z\) è uguale al valore assoluto di \(z\) come numero reale.
Proprietà
\(|z| \geq 0\)
\(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\)
\(|z| \geq |Re(z)|,\ |z| \geq
|Im(z)|\)
\(|\overline{z}| = |z|\)
\(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot
|z_2|\)
\(z \cdot \overline{z} = |z|^2\)
\(z^{-1} =
\frac{\overline{z}}{|z|^2}\)
Diseguaglianza triangolare
\(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)
Forma trigonometrica
\(|z|\) modulo
\(\alpha\) argomento
\(a = |z| \cos \alpha\)
\(b = |z| \sin \alpha\)
\(z = a + ib = |z| (\cos \alpha + i \sin \alpha)\)
\([\alpha] = \{\alpha + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}\}\)
\(1 \sim [1, 0]\)
\(i \sim [1, \frac{\pi}{2}]\)
Moltiplicazione
\(z_1 \sim [\rho_1, \alpha_1]\)
\(z_1 = \rho_1 (\cos \alpha_1 + i \sin
\alpha_1)\)
\(\mathbb{C} \setminus \{0\}
\longrightarrow \ ]0, +\infty[ \times \{[\alpha]_{\equiv_{2\pi}}, \alpha
\in \mathbb{R}\}\)
\(z \longmapsto (\rho, [\alpha])\)
\(z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \cdot \rho_2 (\cos (\alpha_1 + \alpha_2) + i \sin (\alpha_1 + \alpha_2))\)
Formula di De Moivre
Sia \(z = a + ib \sim (\rho,
[\alpha])\)
quindi \(z = \rho (\cos \alpha + i \sin \alpha)\)
allora \(z^n = \rho^n (\cos (n \alpha) + i \sin (n \alpha))\)
Radici
Trovare i numeri \(z \in \mathbb{C}\)
che soddisfano \(z^n = 1\)
In \(\mathbb{R}\):
\(x^n = 1\)
se sono in \([0, +\infty[\)
considero la potenza \(p_n\)
n-esima,
ha un’unica soluzione in \([0,
+\infty[\), che è \(x = 1\)
se sono sui negativi,
per \(n\) pari, soluzione \(x= -1\)
per \(n\) dispari, soluzione \(x = 1\)
quindi su \(\mathbb{R}\):
In \(\mathbb{C}\):
\(z^n = 1\)
\(z \sim (\rho, [\alpha])\)
\(z^n \sim (\rho^n, [n \alpha])\)
\(1 \sim (1, [0])\)
\((\rho^n, [n \alpha]) = (1, [0])\)
deve essere \(\rho^n = 1\) con \(\rho \in \ ]0, +\infty[\),
ha una sola soluzione \(\rho = 1\)
deve essere \([n \alpha] = 0\)
\(n \alpha = 0 + 2k \pi, k \in
\mathbb{Z}\)
\(\alpha = \frac{2k \pi}{n}\)
per \(k = 0\) ottengo \(\alpha_1 = 0\)
per \(k = 1\) ottengo \(\alpha_2 = \frac{2 \pi}{n}\)
per \(k = 2\) ottengo \(\alpha_3 = \frac{4 \pi}{n}\)
\(\vdots\)
per \(k = n-1\) ottengo \(\alpha_n = \frac{2(n-1) \pi}{n}\)
per \(k = n\) ottengo \(\alpha_{n+1} = 2 \pi = 0\)
per \(k = n+1\) ottengo \(\alpha_{n+2} = 2 \pi +\frac{2 \pi}{n} = \frac{2
\pi}{n}\)
quindi sono \(n\) punti distinti.
Le radici dell’unità sono:
Esempio
\(z^5 = 1\)
\(z_1 = 1\)
\(z_2 = 1 (\cos (\frac{2 \pi}{5}) + i \sin
(\frac{2 \pi}{5}))\)
\(z_3 = 1 (\cos (\frac{4 \pi}{5}) + i \sin
(\frac{4 \pi}{5}))\)
\(z_4 = 1 (\cos (\frac{6 \pi}{5}) + i \sin
(\frac{6 \pi}{5}))\)
\(z_5 = 1 (\cos (\frac{8 \pi}{5}) + i \sin
(\frac{8 \pi}{5}))\)
\(a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{C}, a_n \neq 0\)
considero l’equazione \(a_0 + a_1z_1 + a_2z_2 + \dots + a_nz_n = 0\)
questa ha \(n\) soluzioni in \(\mathbb{C}\)
\(a_0 + a_1z_1 + a_2z_2 + \dots + a_nz_n =
a_n(z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)\)
con \(z_1, z_2, \dots, z_n \in
\mathbb{C}\)
(algebricamente chiuso)
Definizione
Siano \(x, y \in \mathbb{R}\), chiamo
distanza (euclidea) di \(x\) e \(y\) li valore \(d(x,y) = |x-y|\).
Proprietà
\(d(x,y) \geq 0\)
\(d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x =
y\)
\(d(x,y) = d(y,x)\)
\(d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\)
disuguaglianza triangolare
Osservazione
Distanza in \(\mathbb{C}\)
\(d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|\)
valgono le stesse proprietà.
Definizione
Sia \(x_0 \in \mathbb{R}\), sia \(r > 0\)
chiamo intorno centrato aperto di centro \(x_0\) e raggio \(r\) l’insieme
\(]x_0 - r, x_0 + r[ \ = \{x \in \mathbb{R} : d(x, x_0) < r \}\)
è detto palla di centro \(x_0\) e raggio \(r\),
è l’insieme di tutti i punti di \(\mathbb{R}\) che hanno distanza da \(x_0\) minore di \(r\).
Osservazione
Su \(\mathbb{C}\), la palla di centro
\(x_0\) e raggio \(r\) è un cerchio.
Definizione
Sia \(x_0 \in \mathbb{R}\),
chiamo intorno di \(x_0\) un qualunque insieme di
\(\mathbb{R}\) che contiene una palla
aperta di centro \(x_0\) e raggio \(r\).
Definizione
Chiamo \(\tilde{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup
\{ -\infty, +\infty \}\), retta estesa.
Definizione
Chiamo intorno di \(+ \infty\) un
qualunque sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) che contiene una semiretta
\(]a, +\infty[\).
Analogamente per \(- \infty\).
Definizione
Sia \(E \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(x_0 \in \mathbb{R}\),
dico che \(x_0\) è
interno a \(E\)
se
\(\exists r > 0 : \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \
\subseteq E\)
(quindi \(x_0\) è interno ad è se e solo se \(E\) è un intorno di \(x_0\))
Esempio
\(E = \{1\} \cup [2, 3[\)
interno = \(\dot{E} = \ ]2,
3[\)
Definizione
Sia \(E \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(x_0 \in \mathbb{R}\),
\(x_0\) si dice esterno a \(E\) se è interno al complementare di \(E\).
\(x_0\) è esterno \(\Leftrightarrow\) \(\exists r > 0 : \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq \mathscr{C} E\)
Esempio
\(E = \{1\} \cup [2, 3[\)
esterno \(= \ ]-\infty, 1[ \
\cup \ ]1, 2[ \ \cup \ ]3, +\infty[\)
Definizione
Sia \(E \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(x_0 \in \mathbb{R}\),
\(x_0\) si dice di frontiera per \(E\) se \(x_0\) non è né interno, né esterno.
\(\neg (\exists r > 0 : \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq E) \wedge \neg (\exists r > 0 : \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq \mathscr{C} E)\)
se e solo se
\(\forall r > 0,\)
\(]x_0 - r, x_0 + r[ \ \cap E \neq
\emptyset\)
\(]x_0 - r, x_0 + r[ \ \cap \mathscr{C} E \neq
\emptyset\)
(cioè in ogni intervallo di \(x_0\) ci sono punti di \(E\) e di \(\mathscr{C} E\))
Esempio
Sia \(E = \mathbb{Q} \cup \ ]1,
2[\)
\(\dot{E} = \emptyset\)
frontiera = \(\partial E =
[1, 2]\)
Definizione
Sia \(A \subseteq \mathbb{R}\),
\(A\) si dice aperto se \(\forall x_0 \in A, \exists r > 0 : \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq A\)
(cioè \(A\) è aperto se e solo se tutti i punti sono punti interni)
\(A\) è aperto \(\Leftrightarrow\) \(A = \dot{A}\)
Definizione
Sia \(C \subseteq \mathbb{R}\),
\(C\) si dice chiuso se \(\mathscr{C} C\) è aperto.
Teorema
\(\emptyset\) e \(\mathbb{R}\) sono insiemi aperti.
L’unione di insiemi aperti è un insieme aperto.
L’intersezione di un numero finito insiemi aperti è un insieme
aperto.
Teorema
\(\emptyset\) e \(\mathbb{R}\) sono insiemi chiusi.
L’intersezione di insiemi chiusi è un insieme chiuso.
L’unione di un numero finito insiemi chiusi è un insieme chiuso.
Dimostrazioni
\(\mathbb{R}\) è aperto?
Se \(x_0 \in \mathbb{R}\), \(\forall r > 0, \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq
\mathbb{R}\), quindi sì.
\(\emptyset\) è aperto?
Sì, perché i suoi elementi (non ce ne sono) hanno tutte le proprietà che
si vogliono.
Siano \(\{A_i, i \in I\}\) un insieme di insiemi aperti.
Considero \(x_0 \in \bigcup\limits_{i \in
I} A_i\)
allora \(\exists \overline{i} : x_0 \in
A_i\)
ma \(A_i\) è aperto,
\(x_0 \in A_{\overline{i}} \Rightarrow \exists
r > 0 : \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq A_i\)
ma allora \(\ ]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq
\bigcup\limits_{i \in I} A_i\)
allora \(\bigcup\limits_{i \in I} A_i\)
è aperto.
Siano \(A_1, A_2\) dui insiemi aperti.
\(x_0 \in A_1 \cap A_2\)
allora
\(x_0 \in A_1 \Rightarrow \exists r_1 >
0 : \ ]x_0 - r_1, x_0 + r_1[ \ \subseteq A_1\)
\(x_0 \in A_2 \Rightarrow \exists r_2 > 0 :
\ ]x_0 - r_2, x_0 + r_2[ \ \subseteq A_2\)
scelgo \(r = min(r_1, r_2)\)
\(]x_0 - r, x_0 + r[ \ \subseteq A_1 \cap A_2\)
\(A_1 \cap A_2\) è aperto.
Osservazione
Se considero l’intersezione di infiniti insiemi aperti, non è detto che
sia un insieme aperto.
\(I_n = \ ] 1 - \frac{1}{n}, 2 + \frac{1}{n}[ \ = [1, 2]\)
Definizione
Sia \(E \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(x_0 \in \mathbb{R}\),
\(x_0\) si dice punto di
aderenza o punto di chiusura per \(E\) se
\(\forall r > 0, \ ]x_0 - r, x_0 + r[ \
\cap E \neq \emptyset\)
(in ogni intorno di \(x_0\) ci sono punti di \(E\))
I punti di chiusura si dicono la chiusura di \(E\), e si indica con \(\overline{E}\).
Esempio
\(E = \ ]1, 2[\)
\(\overline{E} = [1, 2]\)
Osservazione
\(E \subseteq \overline{E}\)
Esempio
\(E = \{\frac{1}{n}, n \in
\mathbb{N}^*\}\)
\(\overline{E} = E \cup \{0\}\)
\(\dot{E} = \emptyset\)
\(\partial{E} = E \cup \{0\}\)
Esempio
\(\mathbb{Q}\)
\(\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{Q} \cup
\mathbb{R} = \mathbb{R}\)
\(\partial{\mathbb{Q}} =
\mathbb{R}\)
\(\dot{\mathbb{Q}} = \emptyset\)
Teorema
Sia \(E \subseteq \mathbb{R}\),
allora
Definizione
Sia \(E \subseteq \mathbb{R}\), sia
\(x_0 \in \mathbb{R}\),
\(x_0\) si dice punto di
accumulazione per \(E\)
se
\(\forall r > 0, (]x_0 - r, x_0 + r[ \ \cap
E) \setminus \{x_0\} \neq \emptyset\)
(cioè \(x_0\) è un punto di accumulazione per \(E\) se in ogni intorno di \(x_0\) ci sono punti di \(E\) diversi da \(x_0\))
L’insieme dei punti di accumulazione si chiama derivato di \(E\), si indica con \(\mathscr{D}E\).
Esempio
\(E = \ ]1, 2[\)
\(\mathscr{D}E = [1, 2]\)
Esempio
\(E = \{\frac{1}{n}, n \in
\mathbb{N}^*\}\)
\(\mathscr{D}E = \emptyset\)
Esempio
\(E = \mathbb{N}\)
\(\mathscr{D}E = \emptyset\)
Osservazione
\(E \subseteq \mathbb{R}\), \(x_0 \in \mathbb{R}\),
\(x_0\) è punto di accumulazione per \(E\) è equivalente a dire che in ogni intorno di \(x_0\) ci sono infiniti punti di \(E\).
Se in ogni intorno di \(x_0\) ci sono infiniti punti di \(E\), è vero che in ogni intorno di \(x_0\) ci sono punti di \(E\) diversi da \(x_0\)?
Mostriamo il viceversa: se \(x_0\) è punto di accumulazione per \(E\), allora in ogni suo intorno ci sono infiniti punti di \(E\), supponiamo che \(x_0\) abbia un intorno in cui ci sono un numero finito di punti di \(E\)
\(]x_0 - r, x_0 + r[ \ \cap E = \{x_1, x_2, ..., x_k\}\)
provo che \(x_0\) non è punto di accumulazione per \(E\)
considero \(r_0 = min\{|x_0 - x_j|,\ j=1,2,3, \dots, k,\ x_j \neq x_0\}\)
siccome sono in numero finito, \(r_0 >
0\) e in
\((]x_0 - r_0, x_0 + r_0[ \ \cap E) \setminus
\{x_0\} = \emptyset\)
Conseguenza
Gli insiemi finiti non hanno (mai) punto di accumulazione.